PENTALFA Y LA PROPORCIÓN ÁUREA

 

 

 

Por Carlos Valdés Martín

 

 

Las estrellas inspiran y, al despertar ese estado inspirado, relacionan la lejanía con lo íntimo.[1] Aquí consideramos una forma de estrella que desde la antigüedad llamó poderosamente la atención pues era relacionada con el cuerpo humano y sus atributos. A la estrella de cinco puntas, inscrita dentro de un pentágono regular, los pitagóricos la llamaron penta-alfa, cinco veces la primera letra del alfabeto, colocada en opuestas direcciones. La figura geométrica de la letra alfa de los griegos es igual a nuestra letra A mayúscula, de tal manera que corresponde con semejanza exacta, porque cinco letras “A” mayúsculas colocadas en torno a un centro, dibujan una estrella característica.

 

 

La relación entre esta estrella y el pentágono aparece en la construcción geométrica, y basta unir con diagonales los puntos opuestos dentro del pentágono para formar la estrella pentalfa. Como los griegos fueron creadores de la ciencia geométrica antigua, encontraron múltiples relaciones entre estas figuras y con otras más. Según nos recuerda la historia, este pueblo de filósofos y geómetras, prefería utilizar sólo regla y compás para sus diseños.[2]

En este caso, la inscripción de la estrella dentro del pentágono, también tiene otras implicaciones. La diagonal desde un punto hacia sus opuestos forma un triángulo isósceles, de tal manera se crean tres triángulos mayores, que van desde la base del pentágono hasta su punto más lejano. Y también se forman cinco triángulos más pequeños desde el pentágono interior hacia el pentágono más grande, además se complementan con otros cinco triángulos señalando desde el pentágono externo hacia el interno. Al interior se forma un pentágono más pequeño por lo que existe un principio de generación (o reproducción) en el trazado de esta figura. Esta generación fue considerada una maravilla misteriosa, la cual posibilita que dentro del pentágono interior se repita la formación de otra estrella interior, la cual será completamente proporcional, pero se formará de cabeza o invertida, de ahí una interpretación moralizante.[3]

 

El punto y el origen

Luego esa estrella más pequeña tendrá un pentágono todavía menor e invertido. Por este camino sería viable que imaginemos arribar hasta un sencillo punto (unidad elemental) que carece de dimensión y únicamente tiene posición. Recordemos que para la geometría euclidiana la mínima definición (axioma) se inicia con el punto: con posición, pero sin dimensión.[4]

Ahora bien, esta progresión de una figura hacia un punto la podríamos imaginar en cualquier figura, pero la existencia del punto como lo mínimo nos trae a la memoria dos relaciones. Una es la discusión sobre la naturaleza, que ya aconteció entre los griegos, y que derivó hacia la teoría atómica (Demócrito), la cual indicaba que existía un nivel indivisible en la naturaleza. Ese nivel indivisible se conoció como el átomo y su expresión posterior es la teoría atómica. En otro aspecto este proceso recuerda la hipótesis del primer origen. La teoría cosmogónica del Bigbang nos remite hacia una compresión originaria del universo, y esta compresión todavía no es cuantificada. Esta compresión de la materia comprimida por efecto de una gravedad sumada de toda la materia existente en el universo, nos arroja hasta la falta de dimensión, precepto similar a lo que ocurre con el punto geométrico. Por ambos lados, el punto encierra el concepto que remite al origen del universo.

 

Microcosmos humano

Al mismo tiempo, la pentalfa era considerada la representación geométrica del humano, y una de las gráficas más importantes de esta estrella explica su relación con el cuerpo. Las puntas representan las extremidades, y la punta superior es la cabeza. Esta relación era considerada como clave para la medicina antigua, y también la estrella se utilizaba para un talismán relacionado con la salud, o la protección mágica.

 

Esta figura humana se relacionaba con una concepción de los elementos distribuidos en un conjunto de cinco. Los grecolatinos utilizaban el sistema de cuatro elementos, con tierra, agua, aire y fuego, pero también empleaban un sistema de cinco elementos o esencias componentes de la naturaleza completa. Por medio de esos elementos se estructuraban los remedios médicos y de salud. Mediante la farmacopea tradicional montada sobre esos elementos se combatían los excesos y las carencias, de fuego o de enfriamiento, se compensaban los elementos desordenados y se utilizaban las características de las plantas y alimentos, para sanar cada órgano. En esta visión, resultaba esencial la integración del humano como un microcosmos. Para pensar con orden al microcosmos de los griegos, resultaba esencial el acomodo geométrico del cosmos y la correspondencia armónica del individuo dentro de ese ordenamiento.[5]

Los sólidos geométricos planteados por Platón,[6] fueron una herramienta esencial para comprender ese orden, de tal manera que desde la astronomía se comprendía con  ese orden, y así se creía que las circunvoluciones planetarias estaban relacionadas con los sólidos estructurados en el espacio. Todavía Kepler, quien encontró por primera vez la verdadera trayectoria elíptica de las órbitas planetarias, primero buscó formas que estuvieran relacionados con la inscripción dentro de los sólidos platónicos, las figuras regulares capaces de llenar el espacio.[7]

 

Estas bellas construcciones de sólidos dentro de sólidos, para encontrar una regularidad incluían al ser humano. Que mediante esta estrella pentalfa el cuerpo se relacionaba con el pentágono y su construcción de un sólido en base a pentágonos, formado por doce lados, el dodecaedro. Digamos que dentro del pentágono se inscribe la estrella del ser humano, que está ligada con la lejana órbita planetaria adecuada al dodecaedro dibujado por pentágonos. Y este vínculo es indispensable para captar una visión coherente de microcosmos. La teoría del microcosmos afirma que cada ser humano implica el cosmos completo pero en miniatura, no solamente un ejemplo o una analogía, sino su reproducción a escala terrestre. Para los antiguos esta no fue una visión metafórica (literaria, estética), sino una guía práctica para unificar la religión, la moral, la alimentación, la salud, la astronomía, la astrología, la geometría, la arquitectura, etc. El Renacimiento recuperó esta visión al indicar que “el hombre es la medida de todas las cosas”, pero este término después no lo interpretamos en un sentido radical, sino como una operación de semejanza. Por lo mismo, esta unidad entre el microcosmos y el macrocosmos para una vista moderna se interpreta como semejanzas superficiales y no como la llave maestra del pensamiento.[8] Hasta antes de la irrupción del cartesianismo, esta relación entre macro y microcosmos se tiene que interpretar como una unidad verdadera y absoluta, tal como la religión cristiana interpreta la unidad entre el devoto y su Dios, en una completa fusión.

Entonces, basta mirar con cuidado a la pentalfa para descubrir la primera clave geométrica para entender que el individuo está inscrito en un orden geométrico divino, que más recientemente se está denominando “geometría sagrada”. Debajo de las curvas relativas de la carne y la gran variedad de extremidades reales, el geómetra griego observó una regularidad maravillosa, y creyó estrictamente que el individuo correspondía con esa estrella, ligada a la generación.

 La proporción áurea

La proporción áurea quedó al descubierto con la geometría griega, esa ciencia indispensable para ingresar a la Academia de Platón.[9] Entre las tesis resueltas por Euclides está la idea de dos segmentos que guardan una relación proporcional, adecuada a un crecimiento. Esta proporción significa que entre el segmento mayor y el segmento menor la proporción es la misma que entre el segmento mayor y la suma de los dos segmentos. Esta relación la crearon de forma visual y sencilla, mediante una operación geométrica, antes de que se desarrollara en forma matemática.

En la figura de abajo se muestra cómo hacían los geómetras griegos para encontrar una proporción áurea con regla y compás, sin requerir de mediciones, con la simple observación.

 

 

La literatura nos describe el procedimiento: “El segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi como ésta es a la suma AB.”

Con la letra griega phi se indica la proporción áurea. Fue descrita por Euclides, que ya tenía resuelto ese problema en sus textos, pero todavía faltaba adentrarse en la interpretación matemática. Su interpretación matemática se enriqueció con el italiano renacentista Fibonacci y se divulgó con Paccioli. En términos numéricos se encontró que ciertas series tenían que llegar a un número, a la cifra 1.618033939. Y este número contiene una sucesión que se ilustra en la tabla de abajo.

 

 

 

La característica de estas cifras que es la suma de los dos anteriores resulta el valor de la derecha, que además es una progresión de potencias. Con este singular valor del número de Fibonacci sucede que la adición y la potenciación numérica se mantienen en identidad.

En fin, para no ahondar demasiado en procesos matemáticos, baste comentar que esta proporción áurea arroja una relación de variación específica, adecuada a procesos de crecimiento que en matemáticas son series.

 

La pentalfa y la proporción áurea

Existe una curiosa relación entre la pentalfa y esta particular cifra de la proporción áurea, que es su presencia múltiple. En las relaciones numéricas de la estrella pentalfa encontramos reiteradamente las proporciones áureas de la cifra 1.618... Y esto resulta en interesantes evocaciones. El gráfico de abajo indica las relaciones áureas entre los brazos y los segmentos.

Además ya habíamos comentado, que en la construcción geométrica de esta figura se trazan dos tipos del triángulo isósceles, el cual también está marcado por la proporción áurea. El tipo de isósceles esbelto posee ángulos interiores dos de 72 grados y uno de 36 en su parte aguda.

 

 

Finalmente, en la construcción de la estrella, fuera de la misma se dibuja otro tipo de triángulo isósceles, de tal forma que es ancho en su base, con los ángulos internos dos de 36 grados y uno de 108 grados. Esta figura también está marcada con las relaciones de la cifra de Fibonacci.

Crecimiento infinito

La relación entre la proporción áurea y el pentagrama no resulta casual, cuando observamos la condición indispensable para el proceso del crecimiento. La pentalfa dibuja una figura tal que es perfecta para crecer o decrecerse. Observemos que a partir del pentágono la estrella decrece al inscribirse en su interior y viceversa con su exterior. Este crecer o decrecer sigue una regla de proporcionalidad exacta porque se reproduce, a partir del nuevo pentágono interior y su formación de otra estrella interna. Estos tipos de relaciones están implicadas en el concepto inicial de la proporción dorada, ya que es una relación entre dos segmentos de espacio, de tal modo que la mayor siga la misma proporción con la totalidad. Esto implica una pauta completamente regular, dada por que la suma de dos partes nos lleva hacia una tercera, que puede duplicar el proceso. Pauta de crecimiento tan regular como potencialmente infinita hacia lo grande (cosmos) como hacia lo pequeño (el punto o individuo).  

Si observamos en un gráfico de la relación entre los brazos de la estrella con las cifras de la proporción dorada encontramos las repeticiones. En la totalidad del brazo, de punta a punta está la relación de φ, y la podemos separar en dos segmentos, que serán el equivalente a 1 y el que corresponde a 1/ φ, así que la suma de 1 con 1/ φ , no da el valor de φ. Luego todavía nos encontraremos con otro segmento, que es algo más pequeño, el cual sumado con 1/ φ,  nos dará el valor de 1, y se define como 1/ φ². Mi argumento consiste en que esta serie posee un proceso de crecimiento, conforme a la lógica de la progresión dorada. Además de la pentalfa, hay más modelos de crecimiento geométrico asociados con la proporción áurea, por ejemplo, permitiendo espirales típicas.

 

El doble cuadrado y la “geometría sagrada”

Según se observó la primera manera para obtener la proporción áurea es mediante el triángulo rectángulo con proporción 2 a 1 entre sus catetos. Su elaboración resulta sencilla e intuitiva y su duplicación ofrece un “cuadrilongo” (también llamado doble cuadro) tan popular para las construcciones, incluso para los templos. Ese doble cuadro también usual en los lienzos de arte había sido descifrado por los geómetras como la vía rápida para obtener la proporción áurea, base de una visión especial sobre las propiedades de la geometría.

Entonces basta colocar dos cuadrados formando el cuadrilongo para encontrar la proporción aérea y establecer las diversas evoluciones que se generan en el arte y el diseño a partir de tal correlación. No por esto anterior se piense que toda planta de templos y catedrales requiera esta base arquitectónica, por más que sea una plataforma útil para establecer correlaciones para una “geometría sagrada”.

Uniendo el “cuadrilongo” con la proporción áurea se traza con relativa facilidad la pentalfa, con lo cual esta familia de relaciones geométricas se plasma. Esta correlación en ocasiones ha sido explícita, pero comúnmente se perderá de la observación inmediata y se requiere de una cuidadosa revisión de planos para darse cuenta de esa coincidencia, o bien contar con la experiencia de los geómetras de compás y regla (o escuadra) de la antigüedad.

 

NOTAS

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[1] La representación más constante de las estrellas señala hacia la esperanza.

[2] En parte para minimizar la intervención de los dispositivos manuales, llevando esta operación a la mínima expresión. En Asimov, Los números y su historia.

[3] La identificación entre la geometría y la ética resulta infrecuente entre los pensadores, sin embargo, cabe anotar algunos fulgores, como el rasgo euclidiano de la Ética de Spinoza. Además, esta correlación pasa desapercibida para los modernos y posmodernos cuando miran al pasado, quizá con excepción de algunos como Deleuze y Guattari, por ejemplo, en Lógica del sentido.  

[4] La ausencia de dimensión apunta hacia una perfección paradójica, como si le minimización nos llevara hacia un ámbito distinto, hacia lo inmaterial, cuna del idealismo. Platón, La República.

[5] Esta visión de la correspondencia entre el hombre y el universo recobró fuerza en el Renacimiento y siguió siendo relevante en algunas concepciones, por más que la ilustración tendió a desantropomorfizar los conceptos. El hermetismo se mantiene dentro de tal concepto de correspondencia entre humano-mundo-Dios como el espejo de que “como es arriba es abajo” y viceversa. El Kybalión muestra un resurgir popular de tal visión armónica.

[6] En especial el Timeo de Platón.

[7] “…Kepler (…) Pensó que en la geometría de Euclides vislumbraba una imagen de la

perfección y del esplendor cósmico. Más tarde escribió: La Geometría existía antes de la Creación. La Geometría ofreció a Dios un modelo para la Creación... La Geometría es Dios mismo.” En Cosmos de Carl Sagan.

[8] Con claridad y hasta radicalismo, Foucault señala la separación entre la “episteme” del Renacimiento y lo que él llama la “Època Clásica”, donde ubica a la revolución del racionalismo cartesiano. En Las palabras y las cosas.

[9] En la Academia de Platón «está prohibida la entrada a toda persona que no sepa Geometría». González Urbaneja, Pedro Miguel - Platón. Matemática en la filosofía y filosofía en la matemática