Por Carlos Valdés Martín
Las estrellas inspiran y, al despertar ese estado inspirado, relacionan
la lejanía con lo íntimo. Aquí
consideramos una forma de estrella que desde la antigüedad llamó poderosamente
la atención pues era relacionada con el cuerpo humano y sus atributos. A la
estrella de cinco puntas, inscrita dentro de un pentágono regular, los
pitagóricos la llamaron penta-alfa, cinco veces la primera letra del alfabeto,
colocada en opuestas direcciones. La figura geométrica de la letra alfa de los
griegos es igual a nuestra letra A mayúscula, de tal manera que corresponde con
semejanza exacta, porque cinco letras “A” mayúsculas colocadas en torno a un
centro, dibujan una estrella característica.
La relación entre esta estrella y el pentágono aparece
en la construcción geométrica, y basta unir con diagonales los puntos opuestos
dentro del pentágono para formar la estrella pentalfa. Como los griegos fueron
creadores de la ciencia geométrica antigua, encontraron múltiples relaciones
entre estas figuras y con otras más. Según nos recuerda la historia, este
pueblo de filósofos y geómetras, prefería utilizar sólo regla y compás para sus
diseños.
En este caso, la inscripción de la estrella dentro del
pentágono, también tiene otras implicaciones. La diagonal desde un punto hacia
sus opuestos forma un triángulo isósceles, de tal manera se crean tres triángulos
mayores, que van desde la base del pentágono hasta su punto más lejano. Y
también se forman cinco triángulos más pequeños desde el pentágono interior
hacia el pentágono más grande, además se complementan con otros cinco triángulos
señalando desde el pentágono externo hacia el interno. Al interior se forma un
pentágono más pequeño por lo que existe un principio de generación (o
reproducción) en el trazado de esta figura. Esta generación fue considerada una
maravilla misteriosa, la cual posibilita que dentro del pentágono interior se
repita la formación de otra estrella interior, la cual será completamente
proporcional, pero se formará de cabeza o invertida, de ahí una interpretación
moralizante.
El
punto y el origen
Luego esa estrella más pequeña tendrá un pentágono todavía
menor e invertido. Por este camino sería viable que imaginemos arribar hasta un
sencillo punto (unidad elemental) que carece de dimensión y únicamente tiene
posición. Recordemos que para la geometría euclidiana la mínima definición (axioma)
se inicia con el punto: con posición, pero sin dimensión.
Ahora bien, esta progresión de una figura hacia un
punto la podríamos imaginar en cualquier figura, pero la existencia del punto como
lo mínimo nos trae a la memoria dos relaciones. Una es la discusión sobre la
naturaleza, que ya aconteció entre los griegos, y que derivó hacia la teoría
atómica (Demócrito), la cual indicaba que existía un nivel indivisible en la
naturaleza. Ese nivel indivisible se conoció como el átomo y su expresión posterior
es la teoría atómica. En otro aspecto este proceso recuerda la hipótesis del
primer origen. La teoría cosmogónica del Bigbang nos remite hacia una
compresión originaria del universo, y esta compresión todavía no es
cuantificada. Esta compresión de la materia comprimida por efecto de una
gravedad sumada de toda la materia existente en el universo, nos arroja hasta
la falta de dimensión, precepto similar a lo que ocurre con el punto geométrico.
Por ambos lados, el punto encierra el
concepto que remite al origen del universo.
Microcosmos
humano
Al mismo tiempo, la pentalfa era considerada la
representación geométrica del humano, y una de las gráficas más importantes de
esta estrella explica su relación con el cuerpo. Las puntas representan las
extremidades, y la punta superior es la cabeza. Esta relación era considerada
como clave para la medicina antigua, y también la estrella se utilizaba para un
talismán relacionado con la salud, o la protección mágica.
Esta figura humana se relacionaba con una concepción
de los elementos distribuidos en un conjunto de cinco. Los grecolatinos
utilizaban el sistema de cuatro elementos, con tierra, agua, aire y fuego, pero
también empleaban un sistema de cinco elementos o esencias componentes de la
naturaleza completa. Por medio de esos elementos se estructuraban los remedios
médicos y de salud. Mediante la farmacopea tradicional montada sobre esos
elementos se combatían los excesos y las carencias, de fuego o de enfriamiento,
se compensaban los elementos desordenados y se utilizaban las características
de las plantas y alimentos, para sanar cada órgano. En esta visión, resultaba
esencial la integración del humano como un microcosmos. Para pensar con orden al
microcosmos de los griegos, resultaba esencial el acomodo geométrico del cosmos
y la correspondencia armónica del individuo dentro de ese ordenamiento.
Los sólidos geométricos planteados por Platón, fueron
una herramienta esencial para comprender ese orden, de tal manera que desde la
astronomía se comprendía con ese orden,
y así se creía que las circunvoluciones planetarias estaban relacionadas con
los sólidos estructurados en el espacio. Todavía Kepler, quien encontró por
primera vez la verdadera trayectoria elíptica de las órbitas planetarias,
primero buscó formas que estuvieran relacionados con la inscripción dentro de
los sólidos platónicos, las figuras regulares capaces de llenar el espacio.
Estas bellas construcciones de sólidos dentro de
sólidos, para encontrar una regularidad incluían al ser humano. Que mediante
esta estrella pentalfa el cuerpo se relacionaba con el pentágono y su construcción
de un sólido en base a pentágonos, formado por doce lados, el dodecaedro. Digamos
que dentro del pentágono se inscribe la estrella del ser humano, que está
ligada con la lejana órbita planetaria adecuada al dodecaedro dibujado por
pentágonos. Y este vínculo es indispensable para captar una visión coherente de
microcosmos. La teoría del microcosmos afirma que cada ser humano implica el
cosmos completo pero en miniatura, no solamente un ejemplo o una analogía, sino
su reproducción a escala terrestre. Para los antiguos esta no fue una visión
metafórica (literaria, estética), sino una guía práctica para unificar la
religión, la moral, la alimentación, la salud, la astronomía, la astrología, la
geometría, la arquitectura, etc. El Renacimiento recuperó esta visión al
indicar que “el hombre es la medida de todas las cosas”, pero este término
después no lo interpretamos en un sentido radical, sino como una operación de
semejanza. Por lo mismo, esta unidad entre el microcosmos y el macrocosmos para
una vista moderna se interpreta como semejanzas superficiales y no como la
llave maestra del pensamiento. Hasta
antes de la irrupción del cartesianismo, esta relación entre macro y
microcosmos se tiene que interpretar como una unidad verdadera y absoluta, tal como
la religión cristiana interpreta la unidad entre el devoto y su Dios, en una
completa fusión.
Entonces, basta mirar con cuidado a la pentalfa para descubrir
la primera clave geométrica para entender que el individuo está inscrito en un
orden geométrico divino, que más recientemente se está denominando “geometría
sagrada”. Debajo de las curvas relativas de la carne y la gran variedad de
extremidades reales, el geómetra griego observó una regularidad maravillosa, y
creyó estrictamente que el individuo correspondía con esa estrella, ligada a la
generación.
La
proporción áurea
La proporción áurea quedó al descubierto con la
geometría griega, esa ciencia indispensable para ingresar a la Academia de
Platón. Entre
las tesis resueltas por Euclides está la idea de dos segmentos que guardan una
relación proporcional, adecuada a un crecimiento. Esta proporción significa que
entre el segmento mayor y el segmento menor la proporción es la misma que entre
el segmento mayor y la suma de los dos segmentos. Esta relación la crearon de
forma visual y sencilla, mediante una operación geométrica, antes de que se
desarrollara en forma matemática.
En la figura de abajo se muestra cómo hacían los geómetras
griegos para encontrar una proporción áurea con regla y compás, sin requerir de
mediciones, con la simple observación.
La literatura nos describe el procedimiento: “El
segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en
un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los
catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el
cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al
segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi
es a la mayor Afi como ésta es a la suma AB.”
Con la letra griega phi se indica la proporción áurea. Fue descrita por
Euclides, que ya tenía resuelto ese problema en sus textos, pero todavía
faltaba adentrarse en la interpretación matemática. Su interpretación
matemática se enriqueció con el italiano renacentista Fibonacci y se divulgó
con Paccioli. En términos numéricos se encontró que ciertas series tenían que
llegar a un número, a la cifra 1.618033939. Y este número contiene una sucesión
que se ilustra en la tabla de abajo.
La característica de estas cifras que es la suma de
los dos anteriores resulta el valor de la derecha, que además es una progresión
de potencias. Con este singular valor del número de Fibonacci sucede que la adición
y la potenciación numérica se mantienen en identidad.
En fin, para no ahondar demasiado en procesos
matemáticos, baste comentar que esta proporción áurea arroja una relación de variación
específica, adecuada a procesos de crecimiento que en matemáticas son series.
La
pentalfa y la proporción áurea
Existe una curiosa relación entre la pentalfa y esta
particular cifra de la proporción áurea, que es su presencia múltiple. En las
relaciones numéricas de la estrella pentalfa encontramos reiteradamente las proporciones áureas de la cifra
1.618... Y esto resulta en interesantes evocaciones. El gráfico de abajo
indica las relaciones áureas entre los brazos y los segmentos.
Además ya habíamos comentado, que en la construcción
geométrica de esta figura se trazan dos tipos del triángulo isósceles, el cual
también está marcado por la proporción áurea. El tipo de isósceles esbelto posee
ángulos interiores dos de 72 grados y uno de 36 en su parte aguda.
Finalmente, en la construcción de la estrella, fuera
de la misma se dibuja otro tipo de triángulo isósceles, de tal forma que es
ancho en su base, con los ángulos internos dos de 36 grados y uno de 108 grados.
Esta figura también está marcada con las relaciones de la cifra de Fibonacci.
Crecimiento infinito
La relación entre la proporción áurea y el pentagrama no
resulta casual, cuando observamos la condición indispensable para el proceso
del crecimiento. La pentalfa dibuja una figura tal que es perfecta para crecer
o decrecerse. Observemos que a partir del pentágono la estrella decrece al
inscribirse en su interior y viceversa con su exterior. Este crecer o
decrecer sigue una regla de proporcionalidad exacta porque se reproduce, a
partir del nuevo pentágono interior y su formación de otra estrella interna.
Estos tipos de relaciones están implicadas en el concepto inicial de la proporción
dorada, ya que es una relación entre dos segmentos de espacio, de tal modo que
la mayor siga la misma proporción con la totalidad. Esto implica una pauta completamente
regular, dada por que la suma de dos partes nos lleva hacia una tercera, que
puede duplicar el proceso. Pauta de crecimiento tan regular como potencialmente
infinita hacia lo grande (cosmos) como hacia lo pequeño (el punto o individuo).
Si observamos en un gráfico de la relación entre los
brazos de la estrella con las cifras de la proporción dorada encontramos las
repeticiones. En la totalidad del brazo, de punta a punta está la relación de φ, y la podemos separar en
dos segmentos, que serán el equivalente a 1 y el que corresponde a 1/ φ, así
que la suma de 1 con 1/ φ , no da el valor de φ. Luego todavía nos
encontraremos con otro segmento, que es algo más pequeño, el cual sumado con 1/
φ, nos dará el valor de 1, y se define
como 1/ φ². Mi argumento consiste en que esta serie posee un proceso de
crecimiento, conforme a la lógica de la progresión dorada. Además de la
pentalfa, hay más modelos de crecimiento geométrico asociados con la proporción
áurea, por ejemplo, permitiendo espirales típicas.
El doble cuadrado y la “geometría
sagrada”
Según se observó la primera
manera para obtener la proporción áurea es mediante el triángulo rectángulo con
proporción 2 a 1 entre sus catetos. Su elaboración resulta sencilla e intuitiva
y su duplicación ofrece un “cuadrilongo” (también llamado doble cuadro) tan
popular para las construcciones, incluso para los templos. Ese doble cuadro
también usual en los lienzos de arte había sido descifrado por los geómetras
como la vía rápida para obtener la proporción áurea, base de una visión especial
sobre las propiedades de la geometría.
Entonces basta colocar dos
cuadrados formando el cuadrilongo para encontrar la proporción aérea y
establecer las diversas evoluciones que se generan en el arte y el diseño a
partir de tal correlación. No por esto anterior se piense que toda planta de templos
y catedrales requiera esta base arquitectónica, por más que sea una plataforma útil
para establecer correlaciones para una “geometría sagrada”.
Uniendo el “cuadrilongo”
con la proporción áurea se traza con relativa facilidad la pentalfa, con lo
cual esta familia de relaciones geométricas se plasma. Esta correlación en
ocasiones ha sido explícita, pero comúnmente se perderá de la observación
inmediata y se requiere de una cuidadosa revisión de planos para darse cuenta
de esa coincidencia, o bien contar con la experiencia de los geómetras de
compás y regla (o escuadra) de la antigüedad.
NOTAS
